Если рассматривать инфографику не только как «красивые картинки», но и как инструмент визуализации логики и смысла — то он превращается в мощное оружие. Вчера Lenta.ru опубликовала подробный рассказ о новых достижениях в математике, частью которых являлись и визуализации. В середине мая 2013 года Харальд Хельфготт выложил в открытые архивы статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха», в которой на 133 страницах содержится финальная часть доказательства «тернарной проблемы Гольдбаха» — одной из старейших задач в теории чисел. Суммируем вкратце материалы, для наших читателей:
Схематическое разбиение нескольких первых четных чисел в сумму простых выглядит так:
На сторонах треугольника отложены простые числа. Четные же числа, последовательно отложены по вертикали. Проводя линии от простых чисел (для простоты они раскрашены двумя разными цветами) — получаются точки пересечения, которые соответствуют расположению соответствущих чётных чисел.
Немного истории
В 1725 году немецкий математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Россию, чтобы стать постоянным членом только что открывшейся Петербургской академии наук. В 1742 году Гольдбах в переписке с Леонардом Эйлером пишет в своём письме утверждение: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых» (немецкий математик, в отличие от представлений современной теории чисел, считал единицу также простым числом). В ответном письме Эйлер напоминает Гольдбаху, что ранее в личной беседе тот высказывал похожую гипотезу, что четное целое число можно представить в виде суммы двух простых. При этом Эйлер указал, что «это несомненно верная теорема», но указывал, что он ее «доказать не в состоянии».
Так на свет появилась гипотеза Гольдбаха, точнее даже две гипотезы сразу. Первая получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел.
В свою очередь бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух (не обязательно различных) простых чисел. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: добавляя ко всем четным числам тройку, мы можем получить все возможные нечетные числа больше пяти.
20й век и тернарная проблема
Время шло, и к началу XX века гипотезы Гольдбаха стали одними из центральных задач теории чисел. Многие математики подступались к решению этой задачи, и в 1937 году русский математик Виноградов доказал вот такой факт: все нечетные целые числа, начиная с некоторого N, можно представить в виде суммы трех простых. Но несмотря на то что Виноградов проделал уникальную по меркам математиеского сообщества того времени работу, окончательно задача не была решена.
В 2012 году свет увидела работа известного специалиста по теории чисел и филдсовского медалиста 2006 года Терренса Тао. Ему удалось показать, что всякое нечетное число представимо как сумма не более чем пяти простых чисел. Появление работы Тао подстегнуло интерес Харальда Хельфготта.
У меня появился повод собрать воедино все те идеи, которые на тот момент скопились у меня по поводу тернарной гипотезы Гольдбаха. (цит. по lenta.ru)
Харальд Хельфготт Фото: brandeis.edu
Результатом трудов Хельфготта стала 133-страничная работа, которая содержит все необходимые оценки. Главная теорема звучит следующим образом: все нечетные целые числа, большие числа 10 в 29й степени, могут быть представлены в виде суммы трех простых. Ранее утверждение гипотезы Гольдбаха было проверено (самим Хельфготтом в сотрудничестве с Давидом Платтом) до 8,875 x 10 в 30й степени. Вместе эти два факта дают окончательное доказательство тернарной гипотезы Гольдбаха.
Бинарная проблема Гольдбаха
Для бинарной проблемы методы, примененные для тернарной, не действуют. В 1930 году Лев Шнирельман показал, что всякое четное число представимо в сумме не более чем С простых, где C — некоторая константа. Изначально она была очень большой: в 1969 году советский математик Климов показал, что C не превосходит 6 000 000 000.
Этот результат неоднократно улучшался — в 1995 году Оливер Рамаре показал, что всякое четное число представимо в виде суммы не более, чем шести простых. Примечательно, что новый результат Хельфготта позволяет улучшить результат Рамаре: вычитая из четного числа тройку, мы получаем нечетное, которое, как теперь известно, представимо в виде суммы трех простых. Стало быть, всякое четное число представимо в виде суммы четырех простых.
Сами же математики считают, что решение сильной проблемы Гольдбаха еще далеко.
Часть текста цит. по http://lenta.ru/articles/2013/06/17/goldbach/